Q1. Which measure of central tendency is most affected by extreme values (outliers) in a dataset? केंद्रीय प्रवृत्ति की कौन-सी माप डेटासेट में चरम मूल्यों (आउटलायर्स) से सबसे अधिक प्रभावित होती है?

1. Median माध्यिका
2. Mode बहुलक
3. Arithmetic Mean समांतर माध्य ✓
4. Quartiles चतुर्थक

Answer: C. Arithmetic Mean समांतर माध्य
Explanation: The arithmetic mean uses every value in the dataset, so a single extreme value pulls it significantly. The median and mode are resistant to outliers, while quartiles are positional measures unaffected by extreme values. समांतर माध्य डेटासेट के हर मान का उपयोग करता है, इसलिए एक भी चरम मान इसे महत्वपूर्ण रूप से खींच लेता है। माध्यिका और बहुलक आउटलायर्स के प्रति प्रतिरोधी हैं, जबकि चतुर्थक स्थितीय माप हैं जो चरम मूल्यों से प्रभावित नहीं होते।

Q2. For a moderately skewed distribution, the empirical relationship between mean, median, and mode is: मध्यम रूप से विषम (स्क्यूड) वितरण के लिए, माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध है:

1. Mode = 3 Median − 2 Mean बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य ✓
2. Mean = 3 Median − 2 Mode माध्य = 3 माध्यिका − 2 बहुलक
3. Median = 3 Mode − 2 Mean माध्यिका = 3 बहुलक − 2 माध्य
4. Mode = 2 Median − 3 Mean बहुलक = 2 माध्यिका − 3 माध्य

Answer: A. Mode = 3 Median − 2 Mean बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य
Explanation: Karl Pearson's empirical formula states that for a moderately skewed distribution, Mode = 3 Median − 2 Mean. This relationship holds approximately and is used to estimate one measure when the other two are known. कार्ल पियर्सन का अनुभवजन्य सूत्र बताता है कि मध्यम रूप से विषम वितरण के लिए, बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य। यह संबंध लगभग सत्य होता है और इसका उपयोग एक माप का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जब अन्य दो ज्ञात हों।

Q3. The geometric mean of 4 and 16 is: 4 और 16 का गुणोत्तर माध्य है:

1. 6
2. 8 ✓
3. 10
4. 12

Answer: B. 8
Explanation: The geometric mean of two numbers is the square root of their product: √(4 × 16) = √64 = 8. The geometric mean is particularly useful for averaging ratios and rates of growth. दो संख्याओं का गुणोत्तर माध्य उनके गुणनफल का वर्गमूल होता है: √(4 × 16) = √64 = 8। गुणोत्तर माध्य अनुपातों और वृद्धि दरों का औसत निकालने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

Q4. Which of the following statements is/are correct? निम्नलिखित में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं? I. The sum of deviations of observations from their arithmetic mean is always zero. I. प्रेक्षणों के उनके समांतर माध्य से विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है। II. The sum of squares of deviations from the mean is minimum. II. माध्य से विचलनों के वर्गों का योग न्यूनतम होता है। III. The median divides the data into four equal parts. III. माध्यिका डेटा को चार बराबर भागों में विभाजित करती है।

1. I and II only केवल I और II ✓
2. II and III only केवल II और III
3. I and III only केवल I और III
4. I, II, and III I, II, और III

Answer: A. I and II only केवल I और II
Explanation: Statement I is correct — the algebraic sum of deviations from the mean is always zero. Statement II is correct — the sum of squared deviations is minimized at the mean (least squares property). Statement III is incorrect — the median divides data into two equal parts; quartiles divide data into four parts. कथन I सही है — माध्य से विचलनों का बीजगणितीय योग हमेशा शून्य होता है। कथन II सही है — वर्गित विचलनों का योग माध्य पर न्यूनतम होता है (न्यूनतम वर्ग गुण)। कथन III गलत है — माध्यिका डेटा को दो बराबर भागों में विभाजित करती है; चतुर्थक डेटा को चार भागों में विभाजित करते हैं।

Q5. Assertion (A): The harmonic mean is always less than or equal to the geometric mean for positive observations. अभिकथन (A): धनात्मक प्रेक्षणों के लिए हरात्मक माध्य हमेशा गुणोत्तर माध्य से कम या उसके बराबर होता है। Reason (R): For positive values, AM ≥ GM ≥ HM, with equality only when all values are equal. कारण (R): धनात्मक मानों के लिए, AM ≥ GM ≥ HM, समानता केवल तब होती है जब सभी मान बराबर हों।

1. Both A and R are true, and R is the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है ✓
2. Both A and R are true, but R is NOT the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A is true, but R is false A सत्य है, लेकिन R असत्य है
4. A is false, but R is true A असत्य है, लेकिन R सत्य है

Answer: A. Both A and R are true, and R is the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Explanation: The assertion is correct — HM ≤ GM for positive observations. The reason correctly explains this through the well-established inequality AM ≥ GM ≥ HM, which holds for positive values with equality only when all observations are identical. Since GM ≥ HM directly follows from this chain, R correctly explains A. अभिकथन सही है — धनात्मक प्रेक्षणों के लिए HM ≤ GM। कारण इसे सुस्थापित असमिका AM ≥ GM ≥ HM के माध्यम से सही ढंग से समझाता है, जो धनात्मक मानों के लिए सत्य है और समानता केवल तब होती है जब सभी प्रेक्षण समान हों। चूँकि GM ≥ HM सीधे इस श्रृंखला से अनुसरण करता है, R, A की सही व्याख्या करता है।

Q6. In a continuous frequency distribution, the median class has cumulative frequency just greater than N/2. If N = 100, lower limit of median class = 30, class width = 10, cumulative frequency before median class = 40, and frequency of median class = 20, the median is: एक सतत आवृत्ति वितरण में, माध्यिका वर्ग की संचयी आवृत्ति N/2 से ठीक अधिक होती है। यदि N = 100, माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा = 30, वर्ग चौड़ाई = 10, माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति = 40, और माध्यिका वर्ग की आवृत्ति = 20, तो माध्यिका है:

1. 32
2. 35 ✓
3. 38
4. 40

Answer: B. 35
Explanation: Using the median formula: Median = L + [(N/2 − cf)/f] × h, where L = 30, N/2 = 50, cf = 40, f = 20, h = 10. Median = 30 + [(50 − 40)/20] × 10 = 30 + (10/20) × 10 = 30 + 5 = 35. माध्यिका सूत्र का उपयोग करते हुए: माध्यिका = L + [(N/2 − cf)/f] × h, जहाँ L = 30, N/2 = 50, cf = 40, f = 20, h = 10। माध्यिका = 30 + [(50 − 40)/20] × 10 = 30 + (10/20) × 10 = 30 + 5 = 35।

Q7. The 60th percentile (P₆₀) of a dataset is the value below which: किसी डेटासेट का 60वाँ शतमक (P₆₀) वह मान है जिसके नीचे:

1. 40% of observations lie 40% प्रेक्षण स्थित होते हैं
2. 60% of observations lie 60% प्रेक्षण स्थित होते हैं ✓
3. 60 observations lie 60 प्रेक्षण स्थित होते हैं
4. 6% of observations lie 6% प्रेक्षण स्थित होते हैं

Answer: B. 60% of observations lie 60% प्रेक्षण स्थित होते हैं
Explanation: The p-th percentile is the value below which p% of the observations in a dataset lie. Therefore, P₆₀ is the value below which 60% of the observations fall. Percentiles divide data into 100 equal parts, just as quartiles divide data into 4 parts and deciles into 10 parts. p-वाँ शतमक वह मान है जिसके नीचे डेटासेट के p% प्रेक्षण स्थित होते हैं। इसलिए, P₆₀ वह मान है जिसके नीचे 60% प्रेक्षण आते हैं। शतमक डेटा को 100 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, जैसे चतुर्थक डेटा को 4 भागों में और दशमक को 10 भागों में विभाजित करते हैं।

Q8. For the data: 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, the value of the third quartile (Q₃) is: डेटा: 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18 के लिए, तृतीय चतुर्थक (Q₃) का मान है:

1. 12
2. 13.5
3. 15 ✓
4. 16.5
5. Not Attempted

Answer: C. 15
Explanation: For n = 7 observations, the position of Q₃ is given by 3(n+1)/4 = 3(8)/4 = 6th observation. The 6th observation in the ordered data is 15. Therefore, Q₃ = 15, meaning 75% of the data lies below this value. n = 7 प्रेक्षणों के लिए, Q₃ की स्थिति 3(n+1)/4 = 3(8)/4 = 6वें प्रेक्षण द्वारा दी जाती है। क्रमबद्ध डेटा में 6वाँ प्रेक्षण 15 है। इसलिए, Q₃ = 15, जिसका अर्थ है कि 75% डेटा इस मान से नीचे स्थित है।

Q9. For a moderately skewed distribution, if the mean is 25 and the median is 24, what is the approximate value of the mode? एक मध्यम रूप से विषम (moderately skewed) वितरण के लिए, यदि माध्य (mean) 25 है और माध्यिका (median) 24 है, तो बहुलक (mode) का अनुमानित मान क्या होगा?

1. 22 ✓
2. 23
3. 24
4. 25

Answer: A. 22
Explanation: Using the empirical relationship: Mode = 3(Median) − 2(Mean). Substituting the values: Mode = 3(24) − 2(25) = 72 − 50 = 22. अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करते हुए: बहुलक = 3(माध्यिका) − 2(माध्य)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: बहुलक = 3(24) − 2(25) = 72 − 50 = 22।

Q10. Which of the following is NOT a property of the arithmetic mean? निम्नलिखित में से कौन-सा समांतर माध्य (arithmetic mean) का गुण नहीं है?

1. The sum of deviations of observations from the mean is always zero प्रेक्षणों के माध्य से विचलनों (deviations) का योग हमेशा शून्य होता है
2. The sum of squares of deviations from the mean is minimum माध्य से विचलनों के वर्गों का योग न्यूनतम होता है
3. It is affected by extreme values यह चरम मानों (extreme values) से प्रभावित होता है
4. The sum of absolute deviations from the mean is minimum माध्य से निरपेक्ष विचलनों (absolute deviations) का योग न्यूनतम होता है ✓

Answer: D. The sum of absolute deviations from the mean is minimum माध्य से निरपेक्ष विचलनों (absolute deviations) का योग न्यूनतम होता है
Explanation: The sum of absolute deviations is minimum when taken from the median, not the mean. The other three statements are valid properties of the arithmetic mean. निरपेक्ष विचलनों का योग माध्यिका (median) से लेने पर न्यूनतम होता है, माध्य से नहीं। अन्य तीन कथन समांतर माध्य के वैध गुण हैं।