Q1. A force system consists of three concurrent forces: F₁ = 100 N acting along positive X-axis, F₂ = 100 N acting along positive Y-axis, and F₃ = 100√2 N acting at 45° in the third quadrant (i.e., along the line making 225° with positive X-axis). The magnitude of the resultant force is: एक बल प्रणाली में तीन समवर्ती बल हैं: F₁ = 100 N धनात्मक X-अक्ष के अनुदिश, F₂ = 100 N धनात्मक Y-अक्ष के अनुदिश, और F₃ = 100√2 N तीसरे चतुर्थांश में 45° पर (अर्थात धनात्मक X-अक्ष से 225° बनाती हुई रेखा के अनुदिश)। परिणामी बल का परिमाण है:

1. 0 N ✓
2. 100 N
3. 200 N
4. 100√2 N

Answer: A. 0 N
Explanation: Resolving F₃ into components: F₃ₓ = 100√2 × cos 225° = 100√2 × (−1/√2) = −100 N, and F₃ᵧ = 100√2 × sin 225° = 100√2 × (−1/√2) = −100 N. Summing X-components: 100 + 0 + (−100) = 0. Summing Y-components: 0 + 100 + (−100) = 0. Since both ΣFₓ = 0 and ΣFᵧ = 0, the resultant is zero — the system is in equilibrium. F₃ को घटकों में वियोजित करने पर: F₃ₓ = 100√2 × cos 225° = 100√2 × (−1/√2) = −100 N, और F₃ᵧ = 100√2 × sin 225° = 100√2 × (−1/√2) = −100 N। X-घटकों का योग: 100 + 0 + (−100) = 0। Y-घटकों का योग: 0 + 100 + (−100) = 0। चूँकि ΣFₓ = 0 और ΣFᵧ = 0 दोनों हैं, परिणामी शून्य है — निकाय साम्यावस्था में है।

Q2. सीमांत घर्षण 200 N है।

1. 1, 2 and 3 only केवल 1, 2 और 3
2. 1, 3 and 4 only केवल 1, 3 और 4 ✓
3. 2, 3 and 4 only केवल 2, 3 और 4
4. 1, 2 and 4 only केवल 1, 2 और 4

Answer: B. 1, 3 and 4 only केवल 1, 3 और 4
Explanation: Limiting friction Fₘₐₓ = μN = 0.4 × 500 = 200 N, so statement 4 is correct. The block moves only when applied force exceeds limiting friction, so statement 1 is correct. Static friction is self-adjusting: it equals the applied force up to the limiting value, so when P = 150 N, friction = 150 N (statement 3 correct). Statement 2 is wrong because friction is not always 200 N — it varies with applied force until the limiting value is reached. सीमांत घर्षण Fₘₐₓ = μN = 0.4 × 500 = 200 N, अतः कथन 4 सही है। गुटका तभी गति करता है जब आरोपित बल सीमांत घर्षण से अधिक हो, अतः कथन 1 सही है। स्थैतिक घर्षण स्व-समायोजित होता है: यह सीमांत मान तक आरोपित बल के बराबर होता है, अतः जब P = 150 N, घर्षण = 150 N (कथन 3 सही)। कथन 2 गलत है क्योंकि घर्षण हमेशा 200 N नहीं होता — यह सीमांत मान तक आरोपित बल के साथ बदलता है।

Q3. A semi-circular lamina of radius R has its diameter along the X-axis. The distance of its centroid from the diameter (i.e., the Y-coordinate of the centroid) is: त्रिज्या R वाली एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का व्यास X-अक्ष के अनुदिश है। इसके केन्द्रक की व्यास से दूरी (अर्थात केन्द्रक का Y-निर्देशांक) है:

1. 4R/3π ✓
2. 2R/3π
3. 3R/4π
4. R/2

Answer: A. 4R/3π
Explanation: For a semi-circular lamina, the centroid lies on the axis of symmetry at a distance of 4R/3π from the base (diameter). This is a standard result derived from integration: ȳ = (∫y dA)/(∫dA) = 4R/3π. The centroid of a semi-circular arc, by contrast, is at 2R/π from the diameter — a common trap option. अर्धवृत्ताकार प्लेट के लिए, केन्द्रक सममिति अक्ष पर आधार (व्यास) से 4R/3π की दूरी पर स्थित होता है। यह समाकलन से व्युत्पन्न मानक परिणाम है: ȳ = (∫y dA)/(∫dA) = 4R/3π। इसके विपरीत, अर्धवृत्ताकार चाप का केन्द्रक व्यास से 2R/π दूरी पर होता है — यह एक सामान्य भ्रामक विकल्प है।

Q4. A simply supported beam of span L carries a uniformly distributed load of intensity w per unit length over its entire span. The maximum bending moment and its location are: L विस्तृति वाली एक सरल आधारित धरन पर पूरी विस्तृति में एकसमान रूप से वितरित भार w प्रति इकाई लंबाई कार्य करता है। अधिकतम बंकन आघूर्ण और उसकी स्थिति हैं:

1. wL²/8 at mid-span wL²/8 मध्य-विस्तृति पर ✓
2. wL²/4 at mid-span wL²/4 मध्य-विस्तृति पर
3. wL²/8 at the supports wL²/8 आधारों पर
4. wL²/12 at mid-span wL²/12 मध्य-विस्तृति पर

Answer: A. wL²/8 at mid-span wL²/8 मध्य-विस्तृति पर
Explanation: For a simply supported beam with UDL over the full span, reactions are each wL/2. The bending moment at a section distance x from the left support is M = (wL/2)x − wx²/2. Setting dM/dx = 0 gives x = L/2, and substituting gives Mₘₐₓ = wL²/8. The maximum moment occurs at mid-span where shear force is zero. पूरी विस्तृति पर UDL वाली सरल आधारित धरन के लिए, प्रत्येक प्रतिक्रिया wL/2 होती है। बाएँ आधार से x दूरी पर अनुभाग पर बंकन आघूर्ण M = (wL/2)x − wx²/2 है। dM/dx = 0 रखने पर x = L/2 प्राप्त होता है, और प्रतिस्थापित करने पर Mₘₐₓ = wL²/8 मिलता है। अधिकतम आघूर्ण मध्य-विस्तृति पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य होता है।

Q5. Assertion (A): In a beam subjected to pure bending, the neutral axis passes through the centroid of the cross-section. Reason (R): The neutral axis is the line where the longitudinal strain is zero, and for pure bending of a homogeneous beam, the stress varies linearly from zero at the neutral axis. अभिकथन (A): शुद्ध बंकन के अधीन धरन में, उदासीन अक्ष अनुप्रस्थ काट के केन्द्रक से गुजरता है। कारण (R): उदासीन अक्ष वह रेखा है जहाँ अनुदैर्ध्य विकृति शून्य होती है, और समांगी धरन के शुद्ध बंकन में, प्रतिबल उदासीन अक्ष पर शून्य से रैखिक रूप से बदलता है।

1. Both A and R are true, and R is the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है ✓
2. Both A and R are true, but R is NOT the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A is true but R is false A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A is false but R is true A असत्य है लेकिन R सत्य है

Answer: A. Both A and R are true, and R is the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Explanation: In pure bending, the neutral axis passes through the centroid of the cross-section. The reason correctly explains this: the neutral axis is defined by zero longitudinal strain, and since stress σ = E·ε (Hooke's law), stress is also zero there. The linear stress distribution (σ = My/I) requires the neutral axis to coincide with the centroidal axis for the resultant axial force to be zero. शुद्ध बंकन में, उदासीन अक्ष अनुप्रस्थ काट के केन्द्रक से गुजरता है। कारण इसे सही ढंग से समझाता है: उदासीन अक्ष शून्य अनुदैर्ध्य विकृति द्वारा परिभाषित होता है, और चूँकि प्रतिबल σ = E·ε (हुक का नियम), वहाँ प्रतिबल भी शून्य होता है। रैखिक प्रतिबल वितरण (σ = My/I) के लिए आवश्यक है कि परिणामी अक्षीय बल शून्य होने हेतु उदासीन अक्ष केन्द्रकीय अक्ष से संपाती हो।

Q6. A solid circular shaft of diameter d transmits power P at angular speed ω. If the diameter is doubled while the speed and power remain the same, the maximum shear stress in the shaft: व्यास d वाला एक ठोस वृत्ताकार शाफ्ट कोणीय गति ω पर शक्ति P संचारित करता है। यदि व्यास दोगुना कर दिया जाए जबकि गति और शक्ति समान रहें, तो शाफ्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल:

1. Becomes half आधा हो जाता है
2. Becomes one-fourth चौथाई हो जाता है
3. Becomes one-eighth आठवाँ भाग हो जाता है ✓
4. Remains the same समान रहता है

Answer: C. Becomes one-eighth आठवाँ भाग हो जाता है
Explanation: Power P = T·ω, so if P and ω are constant, torque T remains the same. For a solid circular shaft, maximum shear stress τₘₐₓ = 16T/πd³. Since τₘₐₓ ∝ 1/d³, doubling the diameter (d → 2d) reduces the stress by a factor of 2³ = 8. Hence τ becomes one-eighth of its original value. शक्ति P = T·ω, अतः यदि P और ω स्थिर हैं, तो बलाघूर्ण T समान रहता है। ठोस वृत्ताकार शाफ्ट के लिए, अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τₘₐₓ = 16T/πd³ है। चूँकि τₘₐₓ ∝ 1/d³, व्यास दोगुना करने पर (d → 2d) प्रतिबल 2³ = 8 के गुणक से घट जाता है। अतः τ अपने मूल मान का आठवाँ भाग हो जाता है।

Q7. A simply supported beam of length L carries a central point load W. The maximum deflection occurs at mid-span and is given by: लंबाई L वाली एक सरल आधारित धरन पर केंद्रीय बिंदु भार W कार्य करता है। अधिकतम विक्षेपण मध्य-विस्तृति पर होता है और निम्न द्वारा दिया जाता है:

1. WL³/48EI ✓
2. WL³/192EI
3. 5WL³/384EI
4. WL³/3EI

Answer: A. WL³/48EI
Explanation: For a simply supported beam with a central point load W, the maximum deflection at mid-span is δₘₐₓ = WL³/48EI. This is the standard textbook result. Option (C), 5WL³/384EI, is the maximum deflection for a simply supported beam with a uniformly distributed load — a frequently tested distinction. केंद्रीय बिंदु भार W वाली सरल आधारित धरन के लिए, मध्य-विस्तृति पर अधिकतम विक्षेपण δₘₐₓ = WL³/48EI है। यह मानक पाठ्यपुस्तक परिणाम है। विकल्प (C), 5WL³/384EI, एकसमान वितरित भार वाली सरल आधारित धरन का अधिकतम विक्षेपण है — यह एक बार-बार परीक्षित अंतर है।

Q8. A point in a body is subjected to a tensile stress of 80 MPa in the X-direction and a compressive stress of 40 MPa in the Y-direction, with no shear stress. The maximum principal stress and the maximum shear stress at the point are: किसी पिंड में एक बिंदु X-दिशा में 80 MPa का तन्य प्रतिबल और Y-दिशा में 40 MPa का संपीडन प्रतिबल के अधीन है, जिसमें कोई अपरूपण प्रतिबल नहीं है। बिंदु पर अधिकतम प्रमुख प्रतिबल और अधिकतम अपरूपण प्रतिबल हैं:

1. 80 MPa and 40 MPa 80 MPa और 40 MPa
2. 80 MPa and 60 MPa 80 MPa और 60 MPa ✓
3. 40 MPa and 60 MPa 40 MPa और 60 MPa
4. 60 MPa and 20 MPa 60 MPa और 20 MPa

Answer: B. 80 MPa and 60 MPa 80 MPa और 60 MPa
Explanation: With σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa, and τₓᵧ = 0, the principal stresses are σ₁,₂ = (σₓ + σᵧ)/2 ± √[((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²]. Substituting: σ₁,₂ = (80 − 40)/2 ± √[((80 + 40)/2)² + 0] = 20 ± 60. Thus σ₁ = 80 MPa and σ₂ = −40 MPa. The maximum principal stress is 80 MPa. The maximum shear stress is τₘₐₓ = (σ₁ − σ₂)/2 = (80 − (−40))/2 = 60 MPa. σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa, और τₓᵧ = 0 के साथ, प्रमुख प्रतिबल σ₁,₂ = (σₓ + σᵧ)/2 ± √[((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²] हैं। प्रतिस्थापित करने पर: σ₁,₂ = (80 − 40)/2 ± √[((80 + 40)/2)² + 0] = 20 ± 60। अतः σ₁ = 80 MPa और σ₂ = −40 MPa। अधिकतम प्रमुख प्रतिबल 80 MPa है। अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τₘₐₓ = (σ₁ − σ₂)/2 = (80 − (−40))/2 = 60 MPa है।

Q9. A simply supported beam of span 6 m carries a point load of 20 kN at its mid-span. The maximum bending moment in the beam is: 6 m विस्तृति वाला एक सरल आधारित बीम अपने मध्य-विस्तृति पर 20 kN का बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण है:

1. 20 kN·m
2. 30 kN·m ✓
3. 40 kN·m
4. 60 kN·m

Answer: B. 30 kN·m
Explanation: For a simply supported beam with a central point load W on span L, the maximum bending moment occurs at mid-span and equals WL/4. Here, W = 20 kN and L = 6 m, so M_max = (20 × 6)/4 = 30 kN·m. मध्य-विस्तृति पर बिंदु भार W वाले सरल आधारित बीम के लिए, अधिकतम बंकन आघूर्ण मध्य-विस्तृति पर होता है और WL/4 के बराबर होता है। यहाँ, W = 20 kN और L = 6 m, इसलिए M_max = (20 × 6)/4 = 30 kN·m।

Q10. A rod of length 2 m is subjected to an axial tensile load. If the extension is 2 mm, the longitudinal strain in the rod is: 2 m लंबी एक छड़ अक्षीय तनन भार के अधीन है। यदि दीर्घीकरण 2 mm है, तो छड़ में अनुदैर्ध्य विकृति है:

1. 0.001 ✓
2. 0.01
3. 0.1
4. 1.0

Answer: A. 0.001
Explanation: Longitudinal strain is the ratio of change in length to original length. Strain = 2 mm / 2000 mm = 0.001. Note that both lengths must be in the same units. अनुदैर्ध्य विकृति, लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात है। विकृति = 2 mm / 2000 mm = 0.001। ध्यान दें कि दोनों लंबाइयाँ समान इकाइयों में होनी चाहिए।