Q1. The curl of a gradient of any scalar field is always: किसी भी अदिश क्षेत्र के ग्रेडिएंट का कर्ल हमेशा होता है:

1. Equal to the divergence of the field क्षेत्र के डाइवर्जेंस के बराबर
2. Zero शून्य ✓
3. Equal to the Laplacian of the field क्षेत्र के लाप्लासियन के बराबर
4. Equal to the field itself क्षेत्र के स्वयं के बराबर

Answer: B. Zero शून्य
Explanation: Mathematically, ∇ × (∇φ) = 0 for any scalar field φ. This identity holds because the mixed partial derivatives of a well-behaved function commute, making the curl of a gradient identically zero. This is why conservative force fields, which are gradients of potentials, always have zero curl. गणितीय रूप से, किसी भी अदिश क्षेत्र φ के लिए ∇ × (∇φ) = 0 होता है। यह सर्वसमिका इसलिए मान्य है क्योंकि एक सुव्यवस्थित फलन के मिश्रित आंशिक अवकलज क्रम-विनिमेय होते हैं, जिससे ग्रेडिएंट का कर्ल सर्वसमिका रूप से शून्य हो जाता है। यही कारण है कि संरक्षी बल क्षेत्र, जो विभव के ग्रेडिएंट होते हैं, का कर्ल हमेशा शून्य होता है।

Q2. Which of the following statements is/are correct regarding the eigenvalues of a Hermitian matrix? एर्मिटी आव्यूह के आइगेनमानों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?

1. They are always real वे हमेशा वास्तविक होते हैं ✓
2. They are always purely imaginary वे हमेशा शुद्ध काल्पनिक होते हैं
3. They are always complex with non-zero imaginary parts वे हमेशा गैर-शून्य काल्पनिक भागों के साथ सम्मिश्र होते हैं
4. They are always positive वे हमेशा धनात्मक होते हैं

Answer: A. They are always real वे हमेशा वास्तविक होते हैं
Explanation: A Hermitian matrix satisfies A† = A, where † denotes the conjugate transpose. A fundamental theorem of linear algebra states that all eigenvalues of a Hermitian matrix are real. This property is crucial in quantum mechanics, where observables are represented by Hermitian operators and their eigenvalues correspond to measurable, real physical quantities. एक एर्मिटी आव्यूह A† = A को संतुष्ट करता है, जहाँ † संयुग्मी परिवर्त को दर्शाता है। रैखिक बीजगणित का एक मौलिक प्रमेय बताता है कि एर्मिटी आव्यूह के सभी आइगेनमान वास्तविक होते हैं। यह गुण क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण है, जहाँ प्रेक्षणीय राशियों को एर्मिटी संकारकों द्वारा दर्शाया जाता है और उनके आइगेनमान मापने योग्य, वास्तविक भौतिक राशियों के अनुरूप होते हैं।

Q3. The general solution of the differential equation d²y/dx² + ω²y = 0 is: अवकल समीकरण d²y/dx² + ω²y = 0 का व्यापक हल है:

1. y = A cos(ωx) + B sin(ωx) ✓
2. y = Ae^(ωx) + Be^(−ωx)
3. y = A cosh(ωx) + B sinh(ωx)
4. y = A sin(ωx)

Answer: A. y = A cos(ωx) + B sin(ωx)
Explanation: The characteristic equation is m² + ω² = 0, giving m = ±iω. The general solution is therefore y = A cos(ωx) + B sin(ωx), where A and B are arbitrary constants. This equation describes simple harmonic motion, with ω representing the angular frequency of oscillation. अभिलक्षणिक समीकरण m² + ω² = 0 है, जिससे m = ±iω प्राप्त होता है। इसलिए व्यापक हल y = A cos(ωx) + B sin(ωx) है, जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं। यह समीकरण सरल आवर्त गति का वर्णन करता है, जिसमें ω दोलन की कोणीय आवृत्ति को दर्शाता है।

Q4. Assertion (A): The Fourier series of a function with period 2π contains only sine terms if the function is odd. अभिकथन (A): 2π आवर्त वाले फलन की फूरियर श्रेणी में केवल ज्या पद होते हैं यदि फलन विषम है। Reason (R): For an odd function f(x), the integral of f(x)cos(nx) over a symmetric interval is zero. कारण (R): एक विषम फलन f(x) के लिए, सममित अंतराल पर f(x)cos(nx) का समाकल शून्य होता है।

1. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A) ✓
2. और (R) दोनों सत्य हैं और (R), (A) की सही व्याख्या है
3. Both (A) and (R) are true but (R) is not the correct explanation of (A)
4. और (R) दोनों सत्य हैं लेकिन (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है
5. (A) is true but (R) is false
6. सत्य है लेकिन (R) असत्य है

Answer: A. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A)
Explanation: For an odd function f(x), the product f(x)cos(nx) is odd (odd × even = odd), so its integral over [−π, π] is zero. This eliminates all cosine coefficients (aₙ = 0), leaving only sine terms in the Fourier series. Thus both the assertion and reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. एक विषम फलन f(x) के लिए, गुणनफल f(x)cos(nx) विषम है (विषम × सम = विषम), इसलिए [−π, π] पर इसका समाकल शून्य है। यह सभी कोज्या गुणांकों (aₙ = 0) को समाप्त कर देता है, जिससे फूरियर श्रेणी में केवल ज्या पद शेष रहते हैं। इस प्रकार अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है।

Q5. The residue of the function f(z) = 1/(z² − 1) at the pole z = 1 is: फलन f(z) = 1/(z² − 1) का ध्रुव z = 1 पर अवशेष है:

1. 1
2. 1/2 ✓
3. −1/2
4. 0

Answer: B. 1/2
Explanation: The function has simple poles at z = ±1. The residue at a simple pole z₀ is given by lim(z→z₀) (z − z₀)f(z). At z = 1, this gives lim(z→1) (z − 1)/(z² − 1) = lim(z→1) 1/(z + 1) = 1/2. Residues are essential for evaluating complex integrals using the residue theorem. फलन के z = ±1 पर सरल ध्रुव हैं। सरल ध्रुव z₀ पर अवशेष lim(z→z₀) (z − z₀)f(z) द्वारा दिया जाता है। z = 1 पर, यह lim(z→1) (z − 1)/(z² − 1) = lim(z→1) 1/(z + 1) = 1/2 देता है। अवशेष सम्मिश्र समाकलों को अवशेष प्रमेय द्वारा मूल्यांकित करने के लिए आवश्यक हैं।

Q6. The number of independent components of a symmetric tensor of rank 2 in three-dimensional space is: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रैंक 2 के सममित टेंसर के स्वतंत्र घटकों की संख्या है:

1. 9
2. 6 ✓
3. 3
4. 4

Answer: B. 6
Explanation: A general rank-2 tensor in 3D has 3² = 9 components. For a symmetric tensor, Tᵢⱼ = Tⱼᵢ, which imposes 3 constraints (the off-diagonal pairs T₁₂ = T₂₁, T₁₃ = T₃₁, T₂₃ = T₃₂). Thus the number of independent components is 9 − 3 = 6. This is why the stress tensor and strain tensor in continuum mechanics each have 6 independent components. 3D में एक सामान्य रैंक-2 टेंसर में 3² = 9 घटक होते हैं। एक सममित टेंसर के लिए, Tᵢⱼ = Tⱼᵢ, जो 3 बाधाएँ लगाता है (विकर्णेतर युग्म T₁₂ = T₂₁, T₁₃ = T₃₁, T₂₃ = T₃₂)। इस प्रकार स्वतंत्र घटकों की संख्या 9 − 3 = 6 है। यही कारण है कि सातत्य यांत्रिकी में प्रतिबल टेंसर और विकृति टेंसर में प्रत्येक के 6 स्वतंत्र घटक होते हैं।

Q7. The Lagrangian of a system is L = ½mẋ² − ½kx². The equation of motion obtained from the Euler-Lagrange equation is: किसी निकाय का लाग्रांजियन L = ½mẋ² − ½kx² है। यूलर-लाग्रांज समीकरण से प्राप्त गति का समीकरण है:

1. mẍ + kx = 0 ✓
2. mẍ − kx = 0
3. mẍ + kx² = 0
4. mẍ = 0

Answer: A. mẍ + kx = 0
Explanation: The Euler-Lagrange equation is d/dt(∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0. Here, ∂L/∂ẋ = mẋ and ∂L/∂x = −kx. Substituting gives d/dt(mẋ) + kx = 0, which simplifies to mẍ + kx = 0. This is the equation of motion for a simple harmonic oscillator, with natural frequency ω = √(k/m). यूलर-लाग्रांज समीकरण d/dt(∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0 है। यहाँ, ∂L/∂ẋ = mẋ और ∂L/∂x = −kx है। प्रतिस्थापित करने पर d/dt(mẋ) + kx = 0 प्राप्त होता है, जो सरल करने पर mẍ + kx = 0 देता है। यह सरल आवर्त दोलक की गति का समीकरण है, जिसकी प्राकृतिक आवृत्ति ω = √(k/m) है।

Q8. A particle is observed from a rotating frame of reference. The fictitious force that appears due to the rotation of the frame is: किसी कण को घूर्णन संदर्भ तंत्र से देखा जाता है। तंत्र के घूर्णन के कारण प्रकट होने वाला आभासी बल है:

1. Centrifugal force only केवल अपकेंद्री बल
2. Coriolis force only केवल कोरिओलिस बल
3. Both centrifugal and Coriolis forces अपकेंद्री और कोरिओलिस दोनों बल ✓
4. Neither centrifugal nor Coriolis force न अपकेंद्री और न ही कोरिओलिस बल

Answer: C. Both centrifugal and Coriolis forces अपकेंद्री और कोरिओलिस दोनों बल
Explanation: In a rotating frame, two fictitious forces appear: the centrifugal force, −mω × (ω × r), which acts radially outward, and the Coriolis force, −2mω × v′, which acts perpendicular to both the angular velocity and the velocity of the particle in the rotating frame. Both arise from the non-inertial nature of the rotating frame and must be included to apply Newton's laws correctly. घूर्णन तंत्र में दो आभासी बल प्रकट होते हैं: अपकेंद्री बल, −mω × (ω × r), जो अरीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है, और कोरिओलिस बल, −2mω × v′, जो कोणीय वेग और घूर्णन तंत्र में कण के वेग दोनों के लंबवत कार्य करता है। दोनों घूर्णन तंत्र की गैर-जड़त्वीय प्रकृति से उत्पन्न होते हैं और न्यूटन के नियमों को सही ढंग से लागू करने के लिए इन्हें शामिल किया जाना चाहिए।

Q9. The divergence of the curl of any vector field is always: किसी भी सदिश क्षेत्र के कर्ल का डाइवर्जेंस हमेशा होता है:

1. Zero शून्य ✓
2. Equal to the Laplacian of the field क्षेत्र के लाप्लासियन के बराबर
3. Equal to the gradient of the field क्षेत्र के ग्रेडिएंट के बराबर
4. Infinite अनंत

Answer: A. Zero शून्य
Explanation: The divergence of the curl of any vector field is identically zero, a fundamental vector identity (∇·(∇×A) = 0) that reflects the fact that curl produces a solenoidal field. किसी भी सदिश क्षेत्र के कर्ल का डाइवर्जेंस सर्वसमिका रूप से शून्य होता है, यह एक मौलिक सदिश सर्वसमिका (∇·(∇×A) = 0) है जो इस तथ्य को दर्शाती है कि कर्ल एक सोलेनॉइडल क्षेत्र उत्पन्न करता है।

Q10. Which of the following statements is/are correct regarding the eigenvectors of a real symmetric matrix? वास्तविक सममित मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?

1. Eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal विभिन्न आइगेनमानों के संगत आइगेनवेक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं ✓
2. All eigenvectors are always orthogonal to each other regardless of eigenvalues सभी आइगेनवेक्टर आइगेनमानों की परवाह किए बिना हमेशा एक-दूसरे के ऑर्थोगोनल होते हैं
3. Eigenvectors are always complex आइगेनवेक्टर हमेशा सम्मिश्र होते हैं
4. Eigenvectors are linearly dependent आइगेनवेक्टर रैखिक रूप से आश्रित होते हैं

Answer: A. Eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal विभिन्न आइगेनमानों के संगत आइगेनवेक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं
Explanation: For a real symmetric matrix, eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are always orthogonal. This is the spectral theorem's key consequence, essential in quantum mechanics for orthonormal basis sets. वास्तविक सममित मैट्रिक्स के लिए, विभिन्न आइगेनमानों के संगत आइगेनवेक्टर हमेशा ऑर्थोगोनल होते हैं। यह स्पेक्ट्रल प्रमेय का प्रमुख परिणाम है, जो क्वांटम यांत्रिकी में ऑर्थोनॉर्मल आधार समुच्चयों के लिए आवश्यक है।